Enunciado

1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada por

c) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n   3 t ,   t )  

.

Passo 1

A função que ele nos deu foi:

g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y s e n   3 t ,   t

Pra facilitar nossa vida, vamos dividir em duas. Olha só:

g t = g 1 t + 5 g 2 t

Derivando:

g ' t = g 1 ' t + 5 g 2 ' t

Passo 2

Primeiro vamos calcular g 1 ' t

g 1 t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t

Derivando e aplicando a regra da cadeia:

g 1 ' t = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t

Agora vamos ver como ficam os fatores d x d t e d y d t . Para o x , temos:

x = t 2

Derivando:

d x d t = 2 t

Para o y :

y = 2 t

Derivando:

d y d t = 2 .

Agora é só substituir em g 1 ' t

g 1 ' t = ∂ 2 f ∂ x 2 2 t + ∂ 2 f ∂ y   ∂ x 2

Isto é, g 1 ' t = 2 t ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Passo 3

Primeiro vamos calcular g 2 ' t

g 2 t = ∂ f ∂ x s e n   3 t , t

Derivando e aplicando a regra da cadeia:

g 2 ' t = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

Agora vamos ver como ficam os fatores d x d t e d y d t . Para o x , temos:

x = s e n ( 3 t )

Derivando:

d x d t = 3 cos ⁡ 3 t

Para o y :

y = t

Derivando:

d y d t = 1 .

Agora é só substituir em g 2 ' t

g 2 ' t = 3 cos ⁡ 3 t ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 4

g ' t = g 1 ' t + 5 g 2 ' t

Juntando os Passos 1 e 2, temos:

g ' t = 2 t ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 5 3 cos ⁡ 3 t ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + ∂ 2 f ∂ y 2

Resposta

g ' t = 2 t ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + 5 3 cos ⁡ 3 t ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + ∂ 2 f ∂ y 2

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