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Expresse o integrante como soma de frações parciais e calcule a integral.

∫ d t t 3 + t 2 - 2 t

Passo 1

Para solucionar uma integral por expansão de frações parciais, temos que separar os denominadores como funções de primeiro grau e em seguida descobrir quais numeradores satisfazem essas novas frações.

Feito isso, dividimos em integrais distintas e solucionamos usando as propriedades de logaritmo natural l n , obtendo nossa solução.

Passo 2

Colocando t em evidência, teremos:

1 t t 2 + t - 2

Em seguida, usaremos as propriedades de soma e produto para dividir o termo quadrático do denominador. Soma e produto é um método de solução de equações do segundo grau que diz que a soma das raízes é o coeficiente b e o coeficiente c é o produto delas.

1 t t + 2 t - 1

Separando em frações de denominadores diferentes, teremos:

A t + B t + 2 + C t - 1

Passo 3

Agora, solucionaremos os valores para os novos numeradores, através da igualdade:

A t + B t + 2 + C t - 1 = 1 t 3 + t 2 - 2 t

Fazendo o mínimo múltiplo comum para igualar os denominadores e solucionar os valores de A, B e C, teremos:

A t + 2 t + 1 + B × t t - 1 + C × t t + 2 t 3 + t 2 - 2 t = 1 t 3 + t 2 - 2 t

A t + 2 t - 1 + B × t t - 1 + C × t t + 2 = 1

Reagrupando os termos:

A t 2 + t - 2 + B t 2 - t + C t 2 + 2 t = 1

A t 2 + A t - 2 A + B t 2 - B t + C t 2 + 2 C t = 1

Separando os termos de mesma ordem, teremos:

t 2 A + B + C + t A - B + 2 C - 2 A = 1

Como não existem termos t 2 e t do outro lado da equação, seus coeficientes são 0. Assim, construímos o seguinte sistema:

A + B + C = 0 A - B + 2 C = 0 - 2 A = 1

A = - 1 2

Como temos a solução do valor de A , substituindo nas outras equações teremos:

- 1 2 + B + C = 0 - 1 2 - B + 2 C = 0

Reescrevendo, teremos:

B + C = 1 2 - B + 2 C = 1 2

Isolando B em ambas as equações e igualando teremos:

B = 1 2 - C B = - 1 2 + 2 C

1 2 - C = - 1 2 + 2 C

- 2 C - C = - 1 2 - 1 2

- 3 C = - 1

C = 1 3

Substituindo em B, teremos:

B = 1 2 - 1 3

B = 3 - 2 6

B = 1 6

A = - 1 2 ,     B = 1 6 ,     C = 1 3

Passo 4

Reescrevendo a integral com os novos numeradores, teremos:

∫ - 1 2 t + 1 6 t + 2 + 1 3 t - 1 d t

Tirando as constantes e separando em diferentes integrais, teremos:

- 1 2 ∫ 1 t d t + 1 6 ∫ 1 t + 2 d t + 1 3 ∫ 1 t - 1 d t

Integrando como propriedade do l n , teremos:

- 1 2 ln ⁡ | t | + 1 6 ln ⁡ | t + 2 | + 1 3 ln ⁡ t - 1 + C

Resposta

- 1 2 ln ⁡ t + 1 6 ln ⁡ t + 2 + 1 3 ln ⁡ t - 1 + C

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