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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 5.3 - Ex. 3

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Expresse o limite como integral definida.

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n c k 2 - 3 c k Δ x k

Onde P é uma partição de [ - 7,5 ]

Passo 1

Temos que transformar uma soma de Riemann, no qual a norma da partição tende a 0, em uma integral definida. Desta forma, precisamos descobrir quem é a função f x e os números reais a e b tais que:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f c k Δ x k = ∫ a b f x d x

Em que f ( x ) é o integrando, a o limite inferior e b o limite superior. Os números a e b serão os dois extremos da partição da função. Já para descobrir quem é f ( x ) , basta fazer a substituição c k = x , pois a soma de Riemann é dada da seguinte forma.

S P = ∑ k = 1 n f c k Δ x k

Passo 2

A partição P é o intervalo [ - 7,5 ] . Portanto, o limite inferior é -7 e o superior é 5. Consequentemente, os números reais a e b são:

a = - 7

b = 5

Passo 3

Para descobrirmos quem é o integrando, vamos fazer a substituição c k = x no limite que devemos calcular. Assim temos:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n c k 2 - 3 c k Δ x k = lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n x 2 - 3 x Δ x k

Comparando o que obtemos com o limite da soma de Riemann, isto é:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n x 2 - 3 x Δ x k = lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x Δ x k

Descobrimos que f x = x 2 - 3 x .

Passo 4

Compondo todos os resultados que descobrimos anteriormente, podemos enfim escrever a seguinte integral definida:

∫ - 7 5 ( x 2 - 3 x ) d x

Resposta

∫ - 7 5 ( x 2 - 3 x ) d x

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