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Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.

38) ln ⁡ ( a + b ) + ln ⁡ ( a - b ) - 2 ln ⁡ c

Passo 1

Muito bem galera, para começar nós vamos usar as propriedades do logaritmo natural.

Quando temos um número sendo multiplicado pelo ln significa que o número estava incialmente como expoente, mas como?

Vamos lá:

ln ⁡ ( a + b ) + ln ⁡ ( a - b ) - 2 ln ⁡ c = ln ⁡ ( a + b ) + ln ⁡ ( a - b ) - ln ⁡ c 2

Quando nós temos dois logaritmos sendo somados com a mesma base, o que está acontecendo aqui, já que o ln nada mais é do que logaritmo na base e, isto significa que eles estavam inicialmente sendo multiplicados.

Bora aplicar isso:

ln ⁡ ( a + b ) + ln ⁡ ( a - b ) - ln ⁡ c 2 = ln ⁡ [ a + b × a - b ] - ln ⁡ c 2

No termo ln ⁡ [ a + b × a - b ] faremos a distributiva:

ln ⁡ [ a + b × a - b ] = ln ⁡ a ² - b ²

Então:

= ln ⁡ a ² - b ² - ln ⁡ c 2

Agora, quando nós temos uma subtração entre logaritmos de mesma base isto significa que eles estavam inicialmente sendo divididos:

= ln ⁡ a 2 - b 2 c 2

Prontinhoo!

Resposta

ln ⁡ ( a + b ) + ln ⁡ ( a - b ) - 2 ln ⁡ c = ln ⁡ a 2 - b 2 c 2

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