Enunciado

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Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos c , f c , d , f d , e , f e , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pontos, se houver uma reta tangente.

Suponha que c < d < e e que f seja contínua em algum intervalo contendo, c , d e e .

f ' c = 0

f ' d = 1

f ' e = 0

f ' ' c = 0

f ' ' d = 0

f ' ' x < 0 ,     s e   x < c

f ' ' x > 0 ,     s e   c < x < d

f ' ' x < 0 ,     s e   x > d

Passo 1

Vamos com bastaaaante calma aqui nessa questão.

Muita informação que temos que entender. Aqui temos que analisar extremos relativos e pontos de inflexão.

Vamos começar olhando as primeiras derivadas em cada um dos pontos, para identificar os pontos críticos.

f ' c = 0

f ' d = 1

f ' e = 0

Aqui temos

x = c

x = e

Os pontos críticos, porque neles a derivada é 0

Passo 2

Agora, vamos classificar esses pontos

Para isso vamos olhar a segunda derivada em cada um deles, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o test

Em x = c ele disse que

f ' ' c = 0

Então o teste da segunda derivada não funciona aqui. Olhando a mudança de sinal da segunda derivada, vemos que ele muda de sinal em x = c , então, apesar dele ser um ponto crítico, na verdade será um ponto de inflexão.

Como

e > d

Temos:

f ' ' e < 0

Logo é um ponto de máximo relativo

Passo 3

Vamos olhar agora o ponto de inflexão. Que é o ponto onde a segunda derivada muda de sinal.

Isso vai acontecer exatamente em x = d e em x = c

Então esses são os nossos pontos de inflexão.

Passo 4

Para esboçarmos o gráfico, devemos colocar todas essas informações em uma tabela para nos organizarmos

Não podemos esquercer da derivada de d e c

f ' d = 1

f ' c = 0

Que é a inclinação da reta tangente.

O esboço vai ficar:

Resposta

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