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Faça o gráfico da função

y = - 1 4 - x 2

Explique a relação entre a fórmula e o que você observa.

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = - 1 4 - x 2

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde - 2 < x < 2 , pois qualquer valor fora desse intervalo ocasionaria em uma raiz quadrada negativa, que é algo que não existe no conjunto dos números Reais .

Além disso, note que independentemente do valor de x   no intervalo ( - 2,2 ) , f ( x ) sempre irá assumir um valor negativo. Isso acontece, pois, o numerador é negativo e o denominador sempre é positivo devido a raiz quadrada, então pela regra de sinal, o resultado sempre será negativo. Dessa maneira, veremos que o gráfico de f x   estará na parte negativa do eixo y e estará “dentro” do intervalo (-2,2) .

Passo 2

O segundo passo é perceber que ao olharmos f ( x ) , veremos que estamos com uma divisão de polinômios, que tem alguns “probleminhas” quando x = 2 ou x = - 2 , ou seja, quando substituímos esses números o denominador zera.

Passo 3

O terceiro passo é notar que quando isso acontece significa que f ( x ) possui assíntotas verticais. Porém, é necessário verificar se isso é verdade, ou seja, precisamos ver se, l i m x → 2 + f x =   l i m x → 2 - f x = ± ∞ e   l i m x → - 2 + f x =   l i m x → - 2 - f x = ± ∞ .

No entanto, vimos que f x está definida somente para - 2 < x < 2 , sendo assim não podemos calcular l i m x → 2 + f x   e l i m x → - 2 - f x   pois para estes pontos a função não está definida.

Dessa maneira, verificaremos apenas se l i m x → 2 - f x = ± ∞ e l i m x → - 2 + f x = ± ∞

O que é simples de verificar pois só precisaremos substituir x = 2 no limite à esquerda e ver o que acontece,

l i m x → 2 - f x = l i m x → 2 - - 1 4 - x 2 = - 1 4 - 2 2 = - 1 4 - 4 = - 1 0 = - ∞

Da mesma forma, substituindo x = - 2 no limite à direita temos,

l i m x → - 2 + f x = l i m x → - 2 + - 1 4 - x 2 = - 1 4 - - 2 2 = - 1 4 - 4 = - 1 0 = - ∞

Isso é importante, pois é como se a função estivesse conversando conosco, e dizendo que quando ela se aproxima de x = 2 pela esquerda, ela atinge valores cada vez mais altos, só que com sinal de menos e o mesmo irá acontecer quando f x se aproxima de x = - 2 pela esquerda.

Com isso, f ( x ) possui uma assíntota vertical em x = 2 e outra em x = - 2 .

Resposta

f ( x ) possui uma assíntota vertical em x = 2 e outra em x = - 2 .

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