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Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ cos ⁡ x s e n 2 x + s e n   x d x

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição e depois calcular a integral. Neste caso, vamos fazer u = s e n   x , pois assim d u = cos ⁡ x   d x :

∫ cos ⁡ x s e n 2 x + s e n   x d x = ∫ 1 u 2 + u d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar frações parciais. Repara que pode escrever a integral assim,

∫ 1 u 2 + u d u = ∫ 1 u u + 1 d u

Logo,

1 u u + 1 = A u + B u + 1 = A u + 1 + B u u ( u + 1 )

Com isso, montamos o seguinte sistema:

A u + B u = 0

A = 1

Com isso temos que

B = - 1

Logo, podemos escrever nossa integral assim,

∫ 1 u u + 1 d u = ∫ 1 u d u - ∫ 1 u + 1 d u

Integrando,

∫ 1 u u + 1 d u = ln ⁡ u - ln ⁡ ( u + 1 ) + C

Substituindo, u = s e n x

∫ cos ⁡ x s e n 2 x + s e n   x d x = ln ⁡ s e n x - ln ⁡ s e n x + 1 + C

Resposta

ln ⁡ s e n x - ln ⁡ s e n x + 1 + C

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