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Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ sec 2 ⁡ t t g 2 t + 3 t g   t + 2 d t

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição e depois calcular a integral. Neste caso, vamos fazer u = t g   t , pois assim d u = sec 2 ⁡ t   d t :

∫ sec 2 ⁡ t t g 2 t + 3 t g   t + 2 d t = ∫ 1 u 2 + 3 u + 2 d u

Para resolver essa integral vamos usar frações parciais! Fatorando o denominador:

1 u 2 + 3 u + 2 = 1 ( u + 1 ) ( u + 2 )

Assim,

∫ 1 u 2 + 3 u + 2 d u = ∫ 1 u + 1 + 1 u + 2 d u

Passo 2

Calculando a integral

∫ 1 u + 1 + 1 u + 2 d u = ln ⁡ | u + 1 | + ln ⁡ | u + 2 | + C

Voltando para a variável original:

∫ sec 2 ⁡ t t g 2 t + 3 t g   t + 2 d t = ln ⁡ | t g   t + 1 | + ln ⁡ | t g   t + 2 | + C

Resposta

ln ⁡ | t g   t + 1 | + ln ⁡ | t g   t + 2 | + C

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