Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.Revisão - Ex. 25

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desse livro

Fazer um esboço do gráfico de f , determinando:

. Os extremos relativos de f ;

. Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

. Os intervalos onde f é crescente e aqueles nos quais f é decrescente;

. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;

Da função 1 - x 3

Passo 1

Legal gente, sem pânico! Temos milhões de coisas pra calcularmos, então vamos ser organizados e dividir tudo em pequenos passos de cada vez. A primeira coisa que a questão nos pede, é que determinemos os extremos relativos de f. Para isso, temos que:

  1. Fazer a primeira derivada e igualar a 0 para achar um c
  2. Fazer a segunda derivada e realizar um teste para determinamos se é um extremo ou mínimo relativo.

Então, nossa função é dada por:

1 - x 3

Derivando e igualando a 0, temos que:

- 3 1 - x 2 = 0

Resolvendo essa equação, temos que a raíz é:

x 1 =   1

Então temos 1 C. Vamo aos testes! A segunda derivada da função é igual a:

6 - 6 x

Aplicando as raízes   , temos que:

-p/ x 1 :

6 - 6 * 1 = 0

Para esse caso, pode-se afirmar que não existem máximo ou mínimos relativos.

Passo 2

Ufa, primeira parte já foi! Para a segunda parte, precisamos definir o nosso ponto de inflexão. Resumindo, vamos derivar 3 vezes e achar esses pontos? PREPARADOS? SIMBORA!

f ' x = - 3 1 - x 2

f ' ' x = 6 - 6 x

Neste ponto, igualamos a 0 e temos nossos primeiros candidatos a pontos de inflexão.

6 - 6 x = 0

x = 1

Agora derivamos mais uma vez, e se essa derivada for diferente de 0, temos que nosso ponto de inflexão é real.

f ' ' ' x = 6 ≠ 0

Logo, nosso ponto de inflexão é igual a: ( 1,0 )

Passo 3

E vamos seguindo o rumo galera! Para determinamos a região aonde a nossa curva cresce e decresce, é bem simples. Derivamos uma vez, achamos os 0 e comparamos os intervalos dos 0. Como assim? Vamos lá.

Para a nossa função, temos que a primeira derivada é igual a

- 3 1 - x 2

A única raiz dessa equação é “1”

Então, vamos analisar essa função em 2 momentos distintos:

Para x < 1

Para esse caso, nossa função fica negativa, indicando então DECRESCIMENTO

Para x > 1

Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO

Passo 4

Como só temos 1 ponto de inflexão, vamos analisar para antes e depois de 1. A curva antes de 1 é convexa e a depois de 1 é côncava.

Resposta

Não tem extremos relativos.

Ponto de inflexão em ( 1,0 )

Para x < 1

Para esse caso, nossa função fica negativa, indicando então DECRESCIMENTO

Para x > 1

Para esse caso, nossa função fica positiva, indicando então CRESCIMENTO

A curva antes de 1 é convexa e a depois de 1 é côncava.

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