Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1 - Capítulo 5.10 - Ex. 41

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desse livro

A figura abaixo mostra os gráficos de y = f ( x ) e de y = ∫ 0 x f ( t ) d t . Determine de qual função são os gráficos e explique seu raciocínio.

Passo 1

Cara, se uma função é a integral da outra, isso quer dizer que a outra é a derivada da uma, ou seja, y = f ( x ) é a derivada de y = ∫ 0 x f ( t ) d t . Se você não acredita em mim:

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

y = ∫ 0 x f ( t ) d t

y ' = f ( x )

Então, temos que achar qual a função no gráfico é a derivada.

Vamos supor que a I é a derivada da I I :

Quando a I I decresce (até x = 12 , mais ou menos), a I é negativa.

Em x = 12 , a I I teria que ter derivada zero, já que a I é zero.

A partir de x = 12 , a I I começa a crescer e a I fica positiva, como esperado da derivada da I I .

Como todas as nossas expectativas bateram, podemos concluir que a I é a derivada da I I . E, portanto, I é da y = f ( x ) e a I I é da y = ∫ 0 x f ( t ) d t .

Resposta

I é da y = f ( x ) e a I I é da y = ∫ 0 x f ( t ) d t .

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