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Uma folha de papelão mede 10 × 15   p o l . . Dois quadrados iguais são recortados dos vértices de um lado com 10 p o l . , como mostra a figura. Dois retângulos iguais são recortados dos outros vértices, de modo que as abas possam ser dobradas para formar uma caixa retangular com tampa.

a ) Escreva uma fórmula V x para o volume da caixa.

b ) Determine o domínio de V para esse problema e esboce o gráfico de V nesse domínio.

c ) Use um método gráfico para determinar o volume máximo e o valor respectivo de x que o fornece.

d ) Confirme o resultado que você obteve no ítem c analiticamente.

Passo 1

Letra a

Vamos primeiro entender como é a situação. Ele pegou uma folha e cortou quadrados nas pontas.

Pela figura podemos, quando dobrarmos a caixa vamos ter:

A l t u r a = x

C o m p r i m e n t o = 15 - 2 x 2

L a r g u r a = 10 - 2 x

Fazemso aquela divisão por 2 porque temos o comprimento da base e da tampa, junto com 2 x dando os 15   p o l . , então como queremos um so temos que dividir a diferença por 2

E seu volume vai ser o produto dessas 3 medidas.

Passo 2

Vamos ter que a fórmula do volume vai ser

V x = x 15 - 2 x 2 10 - 2 x

Abrindo essa conta, vamos ter:

V x = 2 x 3 - 25 x 2 + 75 x

Passo 3

Letra b

Só um pequeno detalhe, aquele x tem um intervalo que ele vale. Isso porque ele é uma medida, então precisa ser positiva.

Além disso, os dois lados da caixa precisam ser positivos, fazendo com que:

10 - 2 x > 0

E

15 - 2 x > 0

Assim, vamos ter

10 - 2 x > 0 → 2 x < 10 → x < 5

15 - 2 x > 0 → 2 x < 15 → x < 7,5

Assim, devemos ter:

0 < x < 5

Esse é o domínio.

Usando o geogebra para fazer o gráfico de V x , vamos ter:

Passo 4

Letra c

Ainda a partir do uso do geogebra, vamos ter:

Então o volume máximo é 66,02   p o l . 3 quando x = 1,96   p o l .

Passo 5

Letra d

Para achar o maior possível, temos que achar o ponto de máximo de V x .

Para isso, temos que ver se existe algum ponto de máximo ou mínimo no intervalo de x e comparar com os valores extremos do intervalo de x

Vamos começar achando a derivada:

V ' x = 6 x 2 - 50 x + 75

Ela vai ser 0 em:

6 x 2 - 50 x + 75 = 0

Aplicando Bhaskaras:

x = - - 50 ± - 50 2 - 4 75 6 2 . 6

x = 50 ± 700 12

x = 50 ± 10 7 12

Teremos:

x = 25 ± 5 7 6

Ou

x = 25 - 5 7 6

Apenas o segundo valor está no intervalo de x que queremos, para isso vamos jogar isso na calculadora tá? Rs

Aproveitar que ele pedu varias contas com método gráfico.

então vamos focar só nele como ponto crítico.

Passo 6

Achamos o nosso ponto crítico. Vamos usar o teste da segunda derivada para conferir se ele é máximo ou mínimo ou nada rs

V ' ' x = 12 x - 50

Vamos ver o valor da segunda derivada em 5 3 .

V ' ' 25 - 5 7 6 = 12 25 - 5 7 6 - 50

V ' ' 25 - 5 7 6 = 50 - 10 7 - 50

V ' ' 25 - 5 7 6 = - 10 7

Como a derivada deu negativa, pelo teste da segunda derivada, x = 25 - 5 7 6 é valor de máximo local.

Passo 7

Vamos comparar agora os valores de A x em 0,4 , 5 3 , que são os extremos do intervalo e o máximo local. Vamos usar a fórmula antes de fazer a distribuitiva porque é mais fácil de fazer conta:

V x = x 15 - 2 x 2 10 - 2 x

Vamos usar uma calculadora aqui porque tem uma raiz ali no meio e ele só quer comparar mesmo os valores.

V 0 = 0

V 5 = 0

V 25 - 5 7 6 = 1250 + 875 7 54 ≅ 66,02

Então vamos ter que a área máxima é 25 - 5 7 6 .

Resposta

Letra a

V x = 2 x 3 - 25 x 2 + 75 x

Letra b

Letra c

o volume máximo é 66,02   p o l . 3 quando x = 1,96   p o l .

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