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desse livro

Uma folha de papelão com medidas 24 × 36   p o l . É dobrada ao meio para formar um retângulo de 24 × 18   p o l . , como mostra a figura a seguir. Depois, quatro quadrados congruentes com lados medindo x são recortados dos vértices do retângulo dobrado. A folha é desdobrada e seis abas são dobradas para cima, formando uma caixa com laterais e uma tampa.

a ) Escreva uma fórmula V x para o volume da caixa.

b ) Determine o domínio de V para esse problema e esboce o gráfico de V nesse domínio.

c ) Use um método gráfico para determinar o volume máximo e o valor respectivo de x que o fornece.

d ) Confirme o resultado que você obteve no ítem c analiticamente.

e ) Determine um valor de x que produza um volume de 1120   p o l . 3

f ) escreva um paragrafo com a descrição dos problemas que surgem no item b

Passo 1

Letra a

Vamos primeiro entender como é a situação. Ele pegou uma folha e cortou quadrados nas pontas.

Pela figura podemos, quando dobrarmos a caixa vamos ter:

A l t u r a = 2 x

C o m p r i m e n t o = 36 - 4 x 2 = 18 - 2 x

L a r g u r a = 24 - 2 x

Fazemso aquela divisão por 2 porque temos o comprimento da base e da tampa, junto com 4 x , sendo 2 em cada ponto e 2 no meio, entre as abas, dando os 36   p o l . , então como queremos um so temos que dividir a diferença por 2

E seu volume vai ser o produto dessas 3 medidas.

Passo 2

Vamos ter que a fórmula do volume vai ser

V x = 2 x 18 - 2 x 24 - 2 x

Abrindo essa conta, vamos ter:

V x = 8 x 3 - 168 x 2 + 86 4 x

Passo 3

Letra b e f

Só um pequeno detalhe, aquele x tem um intervalo que ele vale. Isso porque ele é uma medida, então precisa ser positiva.

Além disso, os dois lados da caixa precisam ser positivos, fazendo com que:

18 - 2 x > 0

E

24 - 2 x > 0

Assim, vamos ter

18 - 2 x > 0 → 2 x < 18 → x < 9

24 - 2 x > 0 → 2 x < 24 → x < 12

Assim, devemos ter:

0 < x < 9

Esse é o domínio.

Usando o geogebra para fazer o gráfico de V x , vamos ter:

Passo 4

Letra c

Ainda a partir do uso do geogebra, vamos ter:

Então o volume máximo é 1303,18   p o l . 3 quando x = 3,38   p o l .

Passo 5

Letra d

Para achar o maior possível, temos que achar o ponto de máximo de V x .

Para isso, temos que ver se existe algum ponto de máximo ou mínimo no intervalo de x e comparar com os valores extremos do intervalo de x

Vamos começar achando a derivada:

V ' x = 24 x 2 - 336 x + 864

Ela vai ser 0 em:

24 x 2 - 336 x + 864 = 0

Dividindo por 24 , vmaos ter:

x 2 - 14 x + 36 = 0

Aplicando Bhaskaras:

x = - - 14 ± - 14 2 - 4 36 1 2

x = 14 ± 52 2

x = 14 ± 2 13 2

Teremos:

x = 7 + 13

Ou

x = 7 - 13

Apenas o segundo valor está no intervalo de x que queremos, para isso vamos jogar isso na calculadora tá? Rs

Aproveitar que ele pedu varias contas com método gráfico.

então vamos focar só nele como ponto crítico.

Passo 6

Achamos o nosso ponto crítico. Vamos usar o teste da segunda derivada para conferir se ele é máximo ou mínimo ou nada rs

V ' ' x = 48 x - 336

Vamos ver o valor da segunda derivada em 5 3 .

V ' ' 7 - 13 = 48 7 - 13 - 336

V ' ' 7 - 13 = 336 - 48 13 - 336

V ' ' 7 - 13 = - 48 13

Como a derivada deu negativa, pelo teste da segunda derivada, x = 7 - 13 é valor de máximo local.

Passo 7

Vamos comparar agora os valores de V x nos extremos do intervalo e o máximo local. Vamos usar a fórmula antes de fazer a distribuitiva porque é mais fácil de fazer conta:

V x = 2 x 18 - 2 x 24 - 2 x

Vamos usar uma calculadora aqui porque tem uma raiz ali no meio e ele só quer comparar mesmo os valores.

V 0 = 0

V 9 = 0

V 7 - 13 = 560 + 208 13 ≅ 1309,95

Então vamos ter que a área máxima é 7 - 13 .

Passo 8

Letra e

Ele quer saber quando o volume é 1120, ou seja, temos que fazer

V x = 1120

Isso nos dá a seguinte equação:

8 x 3 - 168 x 2 + 862 x = 1120

Dividindo tudo por 8

x 3 - 21 x 2 + 108 x = 140

x 3 - 21 x 2 + 108 x - 140 = 0

As possíveis raízes são os divisores de 140

x = ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 5 , ± 7 , ± 10 , ± 14 , ± 20 , ± 28 , ± 35 , ± 70 , ± 140

Vamos torcer para ter raiz pequena né? Hahahah

Vou te poupar trabalho e falar que o primeiro que vai ser raiz é x = 2

Vamos fatorar a equação de terceiro grau colocando x - 2 em evidência:

x 3 - 21 x 2 + 108 x - 140 = x 2 x - 2 - 19 x x - 2 + 70 x - 2 = x - 2 x 2 - 19 x + 70

Então teremos

x = 2

Ou

x 2 - 19 x + 70 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau achamos

x = 5

Ou

x = 14

Desses 3 valores, só 2 e 5 estão no intervalo possível.

Resposta

Letra a

V x = 8 x 3 - 168 x 2 + 862 x

Letra b

Letra c

O volume máximo é 1303,18   p o l . 3 quando x = 3,38   p o l .

Letra e

x = 2

x = 5

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