Enunciado

Uma função diferenciável f x , y tem, no ponto 0 , π 2 , derivada direcional igual a 2 5 na direção 3 i → + 4 j → e igual a 11 5 na direção 4 i → - 3 j → . Calcular:

a) ∇ f 0 , π 2

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Passo 2

Inicialmente ele nos disse que a derivada direcional de f no ponto 0 , π 2   igual a 2 / 5 na direção 3 i → + 4 j → . Usando a expressão do Passo 1:

∂ f ∂ v 0 , π 2 = ∇ f 0 , π 2 ⋅ 3,4 3,4

Como essa derivada direcional vale 2 / 5 :

2 5 = ∇ f 0 , π 2 ⋅ 3,4 3 2 + 4 2

Portanto,

2 5 = ∇ f 0 , π 2 ⋅ 3,4 5

Simplificando:

∇ f 0 , π 2 ⋅ 3,4 = 2

Passo 3

Agora vamos ver como fica isso na direção 4 i → - 3 j → . Vem comigo!

∂ f ∂ v 0 , π 2 = ∇ f 0 , π 2 ⋅ 4 , - 3 4 , - 3

Como a derivada nessa direção vale 11 / 5 :

11 5 = ∇ f 0 , π 2 ⋅ 4 , - 3 4 2 + - 3 2

Assim,

11 5 = ∇ f 0 , π 2 ⋅ 4 , - 3 5

Cortando o 5 e organizando a expressão:

∇ f 0 , π 2 ⋅ 4 , - 3 = 11

Passo 4

Para finalizarmos vamos supor que ∇ f 0 , π 2 = a , b e equacionamos com o que achamos nos passos 2 e 3. Do Passo 2:

a , b ⋅ 3,4 = 2

Fazendo o produto escalar:

3 a + 4 b = 2

Do Passo 3:

a , b ⋅ 4 , - 3 = 11

Fazendo o produto escalar:

4 a - 3 b = 11

Então temos o seguinte sistema:

3 a + 4 b = 2 4 a - 3 b = 11

Resolvendo o sistema:

a = 2 e b = - 1

Portanto,

∇ f 0 , π 2 = 2 , - 1

Resposta

∇ f 0 , π 2 = 2 , - 1

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