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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 13.4 - 45

A função posição de uma nave espacial é

r t = 3 + t   i + 2 + ln ⁡ t   j + 7 - 4 t 2 + 1 k

e as coordenadas de uma estação espacial são 6 ,   4 ,   9 . O capitão quer que a nave ataque na estação espacial. Quando os motores devem ser desligados?

Passo 1

Galera, se os motores são desligados no instante t , então a nave continuará a viajar na direção de v t . Então a gente precisar achar t de tal forma que, para algum escalar s > 0 , tenhamos:

r t + s   v t = ( 6 ,   4 ,   9 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar calculando v t :

v t = r ' t = 1   i + 1 t j + 8 t t 2 + 1 2 k

E agora, r t + s   v t :

r t + s   v t = 3 + t   i + 2 + ln ⁡ t   j + 7 - 4 t 2 + 1 k + s 1   i + 1 t j + 8 t t 2 + 1 2 k = 3 + t + s   i + 2 + ln ⁡ t + s t j + 7 - 4 t 2 + 1 + 8 t s t 2 + 1 2 k

Passo 3

Show! Agora podemos igualar cada coordenada de r t + s   v t a 6 ,   4 ,   9 , começando por x :

3 + t + s = 6 ⇒

s = 3 - t

E já vamos substituir essa expressão de s quando igualarmos z :

7 - 4 t 2 + 1 + 8 t 3 - t t 2 + 1 2 = 9 ⇒

24 t - 12 t 2 - 4 t 2 + 1 2 = 2 ⇒

t 4 + 8 t 2 - 12 t + 3 = 0

Podemos verificar que t = 1 é uma raiz da equação logo acima.

Passo 4

Para conferir se t = 1 é mesmo o valor que buscamos, vamos substituí-lo na coordenada y de r t + s   v t e ver se chegamos a 4 :

2 + ln ⁡ t + 3 - t t = 2 + ln ⁡ 1 + 3 - 1 1 = 4

Sim, esse é o valor de t que buscamos, os motores devem ser desligados em t = 1 !

Resposta

t = 1

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