Enunciado

Funções da forma

f x = x n e - x n ! ,           x > 0

onde n é um inteiro positivo, surgem no estudo estatístico do fluxo de trânsito.

  1. Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de f com n = 2,3 , 4 e 5 e elabore uma conjectura sobre o número e a localização dos extremos relativos de f .
  2. Confirme sua conjectura usando o teste da derivada primeira.

Passo 1

  1. Vamos esboçar os gráficos de f x = x n e - x n ! com n = 2,3 , 4 e 5 e vamos analisar eles:
  2. Com n = 2 :

    Com n = 3 :

    Com n = 4 :

    Com n = 5 :

    Pelos gráficos dá pra ver que tem um extremo relativo em cada valor de n considerado, e eles são máximos relativos.

    Passo 2

  3. Pronto, vamos lá, para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:   x n e - x n !

f ' x = 1 n ! n x n - 1 e - x + x n e - x - 1 = 1 n ! n x n - 1 e - x - x n e - x =

= 1 n ! n x n - 1 e - x - x n - 1 x e - x = x n - 1 e - x n ! n - x

Agora fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

x n - 1 e - x n ! n - x = 0 → n - x = n

Pronto, temos como pontos críticos então:

x = n

Passo 2

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo com n = 2 , 1,9 ; 2,1 :

f ' 1,9 = 1,9 2 - 1 e - 1,9 2 ! 2 - 1,9 = 0,0142

f ' 2,1 = 2,1 2 - 1 e - 2,1 2 ! 2 - 2,1 = - 0,0128

Pronto, temos então que f ' 1,9 > 0 e f ' 2,1 < 0 , então f tem um máximo relativo em n = 2 , e isso vai acontecer para cada valor de n .

Resposta

  1. Pelos gráficos dá pra ver que tem um extremo relativo em cada valor de n considerado, e eles são máximos relativos.
  2. f tem um máximo relativo em cada valor de n , e isso vai acontecer para cada valor de n .

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