Enunciado

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desse livro

O gráfico de f ' está mostrado na figura. Esboce o gráfico de f se f for contínua e f 0 = - 1 .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos esboçar o gráfico de uma função desconhecida, caso contínua com base em um gráfico de sua derivada. Para isso, iremos utilizar os conceitos de antiderivada para encontrar a função que desejamos esboçar.

Passo 2

Podemos ver pelo gráfico que a derivada da função se comporta da seguinte maneira

f ' x 2       s e   0 ≤ x < 1 1       s e   1 < x < 2 - 1       s e   2 < x ≤ 3

Dessa forma, para o mesmo comportamento, podemos utilizar a antiderivada para encontrar o comportamento da função que desejamos esboçar

f x 2 x + C       s e   0 ≤ x < 1 x + D       s e   1 < x < 2 - x + E       s e   2 < x ≤ 3

Passo 3

Como possuímos as condições, podemos encontrar o valor das constantes C ,   D   e   E .

Em f ( 0 ) temos

f 0 = - 1

- 1 = 2 0 + C

C = - 1

Entre ( 1 ,   1 ) e ( 2 ,   2 ) , temos

y = x

Dessa forma, D = 0 . Em ( 3 ,   1 ) , temos

f 3 = 1

1 = - 3 + E

E = 4

Assim, temos

f x 2 x - 1       s e   0 ≤ x < 1 x       s e   1 < x < 2 - x + 4       s e   2 < x ≤ 3

Podemos então esboçar o seguinte gráfico

Resposta

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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores
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