Enunciado

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Os gráficos de y   = x e y   =   3   -   x 2 se cruzam em um ponto x   =   r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.

Passo 1

Desejamos encontrar o ponto de encontro entre as duas curvas, ou seja, o ponto que o enunciado chamou de r é o ponto que satisfaz a seguinte equação

3 - x 2 = x → f x = x + x 2 - 3  

Queremos aplicar o método de Newton para encontrar a raiz dessa função, esse método nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Tomaremos como ponto inicial nosso x 0 = 1 para aplicação da fórmula acima.

Passo 2

Para aplicarmos o nosso método, primeiramente vamos derivar a função que nos foi dada, assim, teremos

f x = x + x 2 - 3 → f ' x = 2 x + 1 2 x

Substituindo na nossa fórmula vamos obter

x n + 1 = x n - x n + x n 2 - 3 2 x n + 1 2 x n

Tomando nosso x 0 = 1 vamos ter

x 0 + 1 = x 0 - x 0 + x 0 2 - 3 2 x 0 + 1 2 x 0

x 1 = 1 - 1 + 1 2 - 3 2 ⋅ 1 + 1 2 1

x 1 = 1 - - 1 2 + 1 2

x 1 = 1 + 1 2 + 1 2

x 1 = 1 + 1 5 2

x 1 = 1 + 2 5

x 1 = 1,4

Repetindo o procedimento com   x 1 = 1.4 vamos obter

x 2 ≈ 1 . 35556

x 3 ≈ 1.35 498

x 7 ≈ 1.35498

Assim, podemos usar   r ≈ 1.35498 como uma boa aproximação pra raiz desejada.

Resposta

r ≈ 1.35498  

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