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Se f é homogênea de grau n , mostre que

f x t x , t y = t n - 1 f x ( x , y )

Passo 1

Partindo da igualdade

f t x , t y = t n f ( x , y )

Vamos derivar parcialmente os dois lados, em relação a x , olhando primeiramente para o lado direito

∂ ∂ x t n f x , y

Como t n não varia de acordo com o valor de x , podemos tirar da derivada

= t n ∂ ∂ x f x , y = t n f x ( x , y )

Passo 2

Olhando agora para o outro lado da igualdade

∂ ∂ x f t x , t y

Vamos usar a substituição u = t x e v = t y

∂ ∂ x f t x , t y = ∂ ∂ x f u , v

= ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Como v = t y não depende de x , ∂ v ∂ x = 0 , logo

= ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = ∂ f ∂ u t = t ∂ f ∂ ( t x ) = t f x ( t x , t y )

Passo 3

Voltando a igualdade

f t x , t y = t n f ( x , y )

∂ ∂ x f t x , t y = ∂ ∂ x t n f x , y

t f x ( t x , t y ) = t n f x ( x , y )

Dividindo por t

f x ( t x , t y ) = t n - 1 f x ( x , y )

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