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No início desta seção consideramos a função

f x , y = sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

e conjecturamos que f x ,   y → 1 quando x ,   y → ( 0 ,   0 ) com base em evidências numéricas. Utilize coordenadas polares para comprovar o valor do limite. Em seguida, faça o gráfico da função.

Passo 1

Show de bola, galera. Nosso primeiro passo será lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Retornando ao nosso limite, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim r → 0 ⁡ sen ⁡ r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ⏞ 1 r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ⏟ 1 = lim r → 0 ⁡ sen ⁡ r 2 r 2 ⇒ L i m i t e   f u n d a m e n t a l 1

Show de bola, galera! Agora vamos só dar uma olhada no gráfico dessa nossas função para observar o seu comportamento.

Exercícios de Livros Relacionados

Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,   y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e ...
Determine h x , y = g f x , y e o conjunto na qual h é contínua. g t = t 2 + t , f x , y = 2 x + 3 y - 6
38. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f x , y = x y x 2 + x y + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0                                               ...
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta. f x , y = x - 3 y x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0 0                           s e   x , y = ( 0,0 )