Enunciado

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Uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .

O triângulo com vértices 0 ,   0 ,   b ,   0 ,   ( 0 ,   h )

Passo 1

Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, e então usar um sistema de computação algébrica pra calcular pra gente essas integrais, beleza?

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 b ∫ 0 h - h x b ρ y 2   d y   d x = ρ b h 3 12

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 b ∫ 0 h - h x b ρ x 2   d y   d x = ρ b 3 h 12

Passo 2

Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:

m = ρ   .   Á r e a   d a   l â m i n a = ρ b h 2

Agora sim podemos determinar os raios de giração:

x - - = I y m = ρ b 3 h 12 ρ b h 2 = b 2 6 = b 6

y - - = I x m = ρ b h 3 12 ρ b h 2 = h 2 6 = h 6

Resposta

I x = ρ b h 3 12

I y = ρ b 3 h 12

x - - = b 6

y - - = h 6

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