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lim x → π + ⁡ tan ⁡ x x - π  

(Sugestão: seja t = x - π )

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos substituir π - x por t como sugerido no enunciado e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

t = x - π

x → π + ⇒ t → 0 +

lim t → 0 + ⁡ tan ⁡ t - π t

Passo 2

Agora vamos usar a propriedade de arco suplementar - tan ⁡ t = tan ⁡ π - t e ângulo replementar - tan ⁡ t =   tan ⁡ - t .

lim t → 0 + ⁡ tan ⁡ - π - t t

lim t → 0 + ⁡ - tan ⁡ π - t t

lim t → 0 + ⁡ tan ⁡ t t

Passo 3

Agora apliquemos a relação tan ⁡ t = sin ⁡ t cos ⁡ t e a propriedade da multiplicação de limites.

lim t → 0 + ⁡ sin ⁡ t t cos ⁡ t

lim t → 0 + ⁡ sin ⁡ t t ∙ lim t → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ t

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1 .

( 1 ) ∙ 1 cos ⁡ ( 0 )

( 1 ) ∙ 1 1

1

Resposta

lim x → π + ⁡ tan ⁡ x x - π   = 1

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