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lim t → 0 + ⁡ t - ln ⁡ ( 1 + 2 t ) t 2

Passo 1

Antes de partir para resolução, vale ressaltar que t → 0 + significa que t tende a zero pela direita, ou seja t assume valores positivos tendendo a zero.

Substituindo t = 0 + , no numerador e no denominador, respectivamente, temos:

  • 0 - ln ⁡ 1 + 2 * 0 = 0
  • 0 2 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Lembrando que:

Seja f x =   ln ⁡ g x   → f ' x =   1 g ( x ) * g ' ( x )

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

lim t → 0 + ⁡ t - ln ⁡ ( 1 + 2 t ) t 2 = lim t → 0 + ⁡ 1 - 1 1 + 2 t * 2 2 t = lim t → 0 + ⁡ 1 - 2 1 + 2 * 0 2 t = lim t → 0 + ⁡ - 1 2 t

Passo 3

Chegamos num limite em que temos o valor constante - 1 2 multiplicando o termo 1 t . Portanto, a constante pode sair do limite e, então, temos:

- 1 2 * lim t → 0 + ⁡ 1 t

Analisando agora o limite de 1 t quando t tende a zero pela direita, podemos afirmar que o limite é + ∞ , pois teríamos um denominador muito pequeno e positivo!

Porém, ainda temos a constante - 1 2 .

Infinito dividido por 2 ainda é infinito.

Infinito multiplicado por -1 , é - ∞ .

Portanto,

- 1 2 * lim t → 0 + ⁡ 1 t = - ∞

Resposta

lim t → 0 + ⁡ t - ln ⁡ ( 1 + 2 t ) t 2 = - ∞

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