Enunciado

Um material radioativo, como o isótopo tório – 234, desintegra a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se Q ( t ) é a quantidade presente no instante t, então d Q d t =   - r Q , em que r > 0 é a taxa decaimento.

a) Se 100 mg de tório – 234 decaem a 82,04 mg em 1 semana, determine a taxa de decaimento r.

b) Encontre uma expressão para a quantidade de tório – 234 presente em qualquer instante t.

c) Encontre o tempo necessário para que o tório – 234 decaia à metade da quantidade original

Passo 1

a) como nos foi dada a edo que representa o processo, vamos trabalhar em cima dela.

d Q d t =   - r Q ⟹ d Q Q = - r d t

∫ d Q Q =   - ∫ r d t   ⟹ ln ⁡ Q =   - r t + C ,   o n d e   C = ln ⁡ Q 0 t

l n Q Q 0 = - r t  

Substituindo os valores

l n 82,04 100 = - r 1 ⟹ r =   0,0289   d i a - 1    

Passo 2

b) l n Q Q 0 = - r t  

Passo 3

c) l n Q Q 0 = - r t   ⟹   l n Q 0 2 Q 0 = - 0,0289   d i a - 1 t

⟹ t = 24,5   d i a s

Resposta

r =   0,0289   d i a - 1    

l n Q Q 0 = - r t

24,5   d i a s

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