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Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 17.3 - Ex. 1

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  1. Uma mola com massa de 3   k g é mantida esticada 0.6   m além de seu comprimento natural por uma força de 20   N . Se a mola começar em sua posição de equilíbrio, mas um empurrão der sua velocidade inicial de 1.2   m / s , determine a posição da massa depois de t segundos.

Passo 1

A constante elástica da mola vale:

F = K Δ x

20 = K × 0.6 → K = 100 3   N / m

Logo a equação diferencial que rege o movimento da mola é:

m x ¨ + c x ˙ + k x = 0

Como não há amortecimento então c = 0 , logo:

3 x ¨ + 100 3 x = 0

Passo 2

Temos a seguinte equação auxiliar para essa EDO:

3 r 2 + 100 3 = 0 → r = ± 10 3 i

Com α = 0 e β = 10 3 :

Então a solução dessa EDO com raízes complexas é:

x = c 1 s e n   10 t 3 + c 2 cos ⁡ 10 t 3

A variável x depende de t ok?

Passo 3

Porém nos é dado as condições iniciais iguais a:

x 0 = 0

Pois é na posição de equilíbrio.

x ˙ 0 = 1.2

Dessa forma vamos substituir:

c 1 s e n 0 + c 2 cos ⁡ 0 = 0

c 2 = 0

E:

x ˙ = 10 3 c 1 cos ⁡ 10 t 3 - 10 3 c 2 sin ⁡ 10 t 3

Aplicando o valor x ˙ 0 = 1.2

1.2 = 10 3 c 1 cos ⁡ 0 - 0

c 1 = 0.36

Então a equação de movimento dessa mola é:

x = 0.36   s e n 10 t 3

Resposta

x = 0.36   s e n 10 t 3

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