Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 17.3 - Ex. 4

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desse livro

4- Uma mola com uma massa de 3   k g tem uma constante de amortecimento 30, e a constante da mola é 123

  1. Determine a posição da massa no instante t se ele começar em uma posição de equilíbrio com uma velocidade de 2   m / s
  2. Faça o gráfico da função posição da massa.

Passo 1

A equação diferencial de posição da massa será então:

m x ¨ + c x ˙ + k x = 0

3 x ¨ + 30 x ˙ + 123 x = 0

Para determinarmos a equação de posição em relação a t nós precisaremos resolver essa E D O e para isso precisaremos saber as raízes da equação auxiliar abaixo.

3 r 2 + 30 r + 123 = 0

Por Bháskara temos:

r 1 ; r 2 = - 30 ± 30 2 - 4 × 3 × 123 2 × 3 = - 5 ± - 576 6 = - 5 ± 4 i

Raízes complexas com α = - 5 e β = 4

A equação de solução para essa E D O é igual a:

x = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 s e n   β t

Logo:

x = e - 5 t c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 s e n   4 t

Passo 2

  1. Como ele começa na posição de equilíbrio então x 0 = 0 e como sua velocidade inicial é de 2   m / s então x ˙ 0 = 2   m / s
  2. Logo se substituirmos o ponto x ( 0 ) na equação nós teremos:

    0 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0 → c 1 = 0

    Agora fazendo a derivada em t de x nós teremos pela regra do produto:

    x ˙ = - 5 e - 5 t c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 s e n   4 t + e - 5 t   ( - 4 c 1 s e n   4 t + 4 c 2 cos ⁡   4 t )  

    Aplicando x ˙ 0 = 2 e c 1 = 0 temos:

    2 = - 5 c 2 s e n   0 + 4 c 2 cos ⁡ 0

    c 2 = 1 2

    Dessa forma a equação de movimento dessa massa será:

    x = e - 5 t 2   s e n   4 t  

    Passo 3

  3. Gráfico de x :

Não tem tempo negativo ok?

Resposta

a )   x = e - 5 t 2   s e n   4 t  

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