Enunciado

  1. Mostre que:
  2. 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + … + 1 n ( n + 1 ) = n n + 1

    Sugestão: n n + 1 = 1 n - 1 n + 1 .

  3. Use o resultado de (a) para calcular:

lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 )

Passo 1

E aí, tudo joia? A gente vai ter que mostrar isso aí.

Não deram essa sugestão a toa né, então vamos dar um jeitinho de usar...

Repare no seguinte, se a gente colocar essa soma usando a função da sugestão, fica assim:

1 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + … + 1 n - 1 n + 1

Se liga só: um termo anula o outro nessa soma, é aquela soma telescópica que a gente viu nesse capítulo! Ou seja, vai sobrar só o primeiro e o último termo dessa soma. Isso aqui ó:

1 1 - 1 n + 1

Passo 2

Vamos dar uma desenvolvida nisso agora pra ficar mais bonitinho:

= n + 1 - 1 n + 1

= n n + 1  

Chegamos exatamente ao que era pra ser mostrado. Ponto pra a gente!

Passo 3

b) Bom, a gente no item (a) calculou a soma dessa relação só que com n certo? Então o somatório já tá calculado...

∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = n n + 1

Show! Só falta a gente fazer o limite disso agora então:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 =   lim n → ∞ ⁡ n n = 1

E prontinho! Terminamos por aqui😚

Resposta

  1. Demonstração.
  2. 1 .

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