Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 2.5 - Ex. 40

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Mostre que f é contínua em ( - ∞ ,   ∞ ) .

f x = s e n   x ,     x < π / 4 cos ⁡ x ,     x ≥ π / 4

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função dada é contínua em toda a reta real. Todavia, existe uma particularidade: a função dada é definida por partes. Assim, temos que mostrar que as partes são contínuas e, além disso, que no ponto de colagem a função é contínua. Para isso, o limite deve coincidir com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro que f é contínua para x ≠ π / 4 . Para x > π / 4 , f x = cos ⁡ x que é uma função contínua (função trigonométrica) em seu domínio. O mesmo vale para x < π / 4 , onde f x = s e n   x . Assim, para x ≠ π / 4 , f é uma uma função contínua.

Passo 3

Vamos verificar agora se f é contínua em x = π / 4 . Para isso, calculemos os limites laterais. Pela esquerda ( x < π / 4 ), f x = s e n   x , de modo que

lim x → π / 4 - ⁡ f ( x ) = lim x → π / 4 - ⁡ s e n   x = s e n   π / 4 = 2 2

À direita ( x > π / 4 ), f x = cos ⁡ x , de modo que

lim x → π / 4 + ⁡ f x = lim x → π / 4 + ⁡ cos ⁡ x = cos ⁡ π / 4 = 2 2

Como os limites laterais são iguais, temos que o limite existe e vale 2 / 2 :

lim x → π / 4 ⁡ f ( x ) = 2 2

Além disso, para x = π / 4 , f π / 4 = cos ⁡ π / 4 = 2 / 2 = lim x → π / 4 ⁡ f ( x ) . Assim, f é contínua em x = π / 4 . Desta forma, provamos que f é contínua em toda parte.

Resposta

Demonstração.

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