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desse livro

Mostre que a curva

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t cos ⁡ t

Tem duas tangentes em ( 0,0 ) e encontre suas equações. Esboce a curva.

Passo 1

O vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = sen ⁡ t cos ⁡ t

d y d t = cos ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t sen ⁡ t = cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t

E usando lá aquelas identidades trigonométricas que esse livro parece adorar,

d y d t = cos ⁡ 2 t

Agora a derivada de x :

x = cos ⁡ t

d x d t = - s en ⁡ t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = - cos ⁡ 2 t sen ⁡ t

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia ( 0,0 ) . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = cos ⁡ t = 0

y = sen ⁡ t cos ⁡ t = 0

Daí, tiramos que

t = π 2

ou

t = 3 π 2

Ou seja, temos dois valores possíveis para t correspondentes ao ponto ( 0,0 ) .

Passo 4

Substituindo no vetor tangente, temos:

Para t = π 2   :

d y d x = - cos ⁡ 2 π 2 sen ⁡ π 2 = 1

Para t = 3 π 2 :

d y d x = - cos ⁡ 2 3 π 2 sen ⁡ 3 π 2 = - 1

Assim, temos dois vetores tangentes, logo, vamos ter duas retas tangentes no ponto ( 0,0 ) .

Passo 5

Assim, as equações da reta tangente no ponto ( 0,0 ) ficam:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 0 = ± 1 ( x - 0 )

y = x

E

y = - x

Passo 6

Plotando a curva naquele esquema de usar o Winplot, mas em ultimo caso podemos usar método de ir chutando valores de t e ir plotando números e depois ligar os pontos. Além disso, vamos desenhar também as duas retas tangentes, que são duas retas passando pela origem.

Fica tudo assim:

Resposta

As retas tangentes são

y = x

E

y = - x

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