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Mostre que as equações r = 1 + s e n θ e r = s e n θ - 1 tem o mesmo gráfico.

Passo 1

Tá, aqui encontramos algo que vai mecher com seu coração... um cardioide! Ele tem esse formato aí, parecido com um coração.

E sem enrolação, vamo provar isso né?!

Passo 2

Vamos sempre lembrar das nossas equações de transformação de polar para cartesianas.

x = r c o s ( θ )

y = r s i n ( θ )

r 2 = x 2 + y 2

Logo, vamos desenvolver a nossa primeira.

r = 1 + s e n θ

x 2 + y 2 = 1 + y r

x 2 + y 2 * x 2 + y 2 = r + y

x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + y

x 2 + y 2 ± x 2 + y 2 = y

Legal, essa ta okay. Agora vamos desenvolver a próxima.

r = s e n θ - 1

x 2 + y 2 = - 1 + y r

x 2 + y 2 * x 2 + y 2 = - r + y

x 2 + y 2 = - x 2 + y 2 + y

x 2 + y 2 ± x 2 + y 2 = y

x 2 + y 2 ± x 2 + y 2 = y = x 2 + y 2 ± x 2 + y 2 = y

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No exercício a seguir, ache a equação polar do gráfico, considerando a equação cartesiana dada. 4 x 2 - 9 y 2 = 36
Faça o esboço da equação r = | c o s 2 θ |