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Mostre que se a > - 1 e b > a + 1 , então a seguinte integral é convergente.

∫ 0 x x a 1 + x b d x

Passo 1

Como no Exercício 55, nós temos que

I = ∫ 0 ∞ x a 1 + x b d x = I 1 + I 2 ,  

Onde

I 1 = ∫ 0 1 x a 1 + x b d x

e

I 2 = ∫ 1 ∞ x a 1 + x b d x

Nós vamos mostrar que I 1 converge para a > - 1 e I 2 converge para b > a + 1 , então I converge quando a > - 1 e b > a + 1 .

Passo 2

I 1 é impróprio apenas quando a < 0 . Quando 0 ≤ x ≤ 1 , nós temos que

1 1 + x b ≤ 1 → 1 x - a 1 + x b ≤ 1 x - a

A integral ∫ 0 1 1 x - a d x converge para - a < 1 , ou a > - 1 pelo Exercício 57, então pelo Teorema de Comparison, temos que ∫ 0 1 1 x - a ( 1 + x b ) d x converge para - 1 < a < 0 .

I 1 não é imprópria quando a ≥ 0 , então existe um valor finito e real nesse caso. Além disso, I 1 tem um valor finito e real quando a ≥ - 1 .

Passo 3

I 2 é sempre imprópria. Quando x ≥ 1 , temos que

x a 1 + x b = 1 x - a 1 + x b = 1 x - a + x b - a

Pelo Teorema 2, nós temos que ∫ 1 ∞ 1 x b - a d x converge b - a > 1 ou b > a + 1 , então pelo Teorema de Comparison, a gente tem que ∫ 1 ∞ x a 1 + x b d x converge para b > a + 1 .

Assim, I converge se a > - 1 e b > a + 1 .

Resposta

I converge se a > - 1 e b > a + 1 .

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