Enunciado

6. Mostre que as integrais

∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y

São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1   ,   F 2 , onde

  1. F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y

F 2 x , y = 2 x 2 - c o s   y

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

Outra forma de enxergar seria

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

∇ × F = 0

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

∇ × ∇ U = 0

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

∇ U = F

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Nesta questão temos

F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y

F 2 x , y = 2 x 2 - c o s   y

E temos que provar que

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Entao bora calcular as derivadas parciais

∂ F 1 ∂ y = 4 x

∂ F 2 ∂ x = 4 x

Logo

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

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