Livros Resolvidos Passo a Passo
Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart - 3.6 - 56

Mostre que

lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n = e x  

Para qualquer x > 0

Passo 1

Primeiramente, suponha uma função f que seja

f z = l n ⁡ ( z )

Agora, tomaremos a derivada de f pela definição, então temos que

f ' z = lim h → 0 ⁡ f z + h - f z h

Sabemos que

f ' z = 1 z

Então substituindo, ficamos com

1 z = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ z + h - ln ⁡ z h

Usando as propriedades do logaritmo, temos que

1 z = lim h → 0 ⁡ 1 h ⋅ ln ⁡ z + h z

1 z = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ z + h z 1 h

Passando a exponencial em ambos os lados, ficamos com

e 1 z = e lim h → 0 ⁡ ln ⁡ z + h z 1 h

Pela propriedade do limite, podemos dizer que

e 1 z = lim h → 0 ⁡ e ln ⁡ z + h z 1 h

Daí

e 1 z = lim h → 0 ⁡ z + h z 1 h

Então

e 1 z = lim h → 0 ⁡ 1 + h z 1 h

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, chamaremos

x = 1 z     e     n = 1 h

Com isso, sabemos que quando h → 0 temos que n → ∞

Substituindo h   por n no nosso limite, ficamos com

e x = lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n

Portanto, está provado.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas