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Mostre que as parábolas

r = c 1 + cos ⁡ θ           e           r = d 1 - cos ⁡ θ

se interceptam em ângulos retos.

Passo 1

Beleza, pessoal? Temos que mostrar que essas parábolas, quando se cruzam, tem retas tangentes perpendiculares entre si. Ou seja, temos que mostrar que, se a derivada de uma parábola no ponto de intersecção é d y d x , então a derivada da outra é - d x d y , beleza?

Passo 2

Você pode tentar obter d y d x diretamente das equações polares, usando uma fórmula. Mas parece mais fácil primeiro converter a equação para coordenadas retangulares, ok?

r = c 1 + cos ⁡ θ           e           r = d 1 - cos ⁡ θ

r + r cos ⁡ θ = c           e           r - r cos ⁡ θ = d

r = c - x           e           r = d + x

r 2 = c - x 2           e           r 2 = d + x 2

x 2 + y 2 = c 2 - 2 c x + x 2           e           x 2 + y 2 = d 2 + 2 d x + x 2

y 2 = c 2 - 2 c x           e           y 2 = d 2 + 2 d x

Passo 3

Agora que temos as equações em coordenadas retangulares, vamos derivá-las em relação a x , beleza?

y 2 = c 2 - 2 c x           e           y 2 = d 2 + 2 d x

2 y d y d x = - 2 c           e           2 y d y d x = 2 d

d y d x = - c y           e         d y d x = d y

Passo 4

Show! Agora só precisamos saber onde as parábolas se cruzam, ou seja, onde elas têm os mesmos valores de x e y .

Mais especificamente, precisamos apenas do valor de y da intersecção, pra gente jogar nas derivadas encontradas no P a s s o   3 . Então a gente isola x em cada equação, e depois os igualamos, beleza?

y 2 = c 2 - 2 c x           e           y 2 = d 2 + 2 d x

x = c 2 - y 2 2 c           e           x = y 2 - d 2 2 d

x = c 2 - y 2 2 c = y 2 - d 2 2 d

2 c 2 d - 2 d y 2 = 2 c y 2 - 2 c d 2

2 y 2 c + d = 2 c d c + d

y 2 = c d

y = c d

Passo 5

Show! Agora que a gente sabe o valor de y da intersecção, podemos calcular as derivadas nesse ponto:

d y d x = - c y           e         d y d x = d y

d y d x = - c c d           e         d y d x = d c d

d y d x = - c d           e         d y d x = d c

Realmente, no ponto de intersecção, as derivadas são o oposto e inverso uma da outra, então mostramos que as parábolas se interceptam em ângulos retos!

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