Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

(a) Mostre que, se P satisfizer a equação logística 1 , então

d 2 P d t 2 = k 2 P 1 - P K 1 - 2 P K

(b) Deduza que a população cresce mais rapidamente quando ela atinge a metade de sua capacidade de suporte.

Passo 1

(a) Beleza, galera? A equação logística à qual o enunciado faz referência é esta:

d P d t = k P 1 - P K

Pra mostrarmos que aquela expressão de   d 2 P d t 2 é verdadeira, podemos partir da equação logística, tomando a derivada em relação a t dos dois lados, pois lembre-se:

d d t d P d t = d 2 P d t 2

d 2 P d t 2 = k P ' 1 - P K + k P   1 - P K '

Usamos a regra do produto, e agora não se esqueça de usar a regra da cadeia quando for derivar algum termo que envolva P , pois P   depende de t , não é uma constante como k ou K , beleza? Então vamo lá:

d 2 P d t 2 = k d P d t   1 - P K + k P - 1 K d P d t

Mas podemos substituir o valor de d P d t da equação logística:

d 2 P d t 2 = k   . k P 1 - P K 1 - P K + k P   - 1 K k P 1 - P K

Agora é só ir ajeitando, colocando uns termos em evidência, pra ficar na forma fatorada bonitinho igual o exercício quer que a gente mostre:

d 2 P d t 2 = k 2 P   1 - P K 1 - P K - P K

d 2 P d t 2 = k 2 P 1 - P K 1 - 2 P K

Passo 2

(b) Se queremos saber em que ponto uma população cresce mais rapidamente, então o que estamos buscando é o ponto onde ocorre o máximo da taxa de crescimento d P d t   .

Pra não carregar a notação e te confundir, vamos dizer que a taxa de crescimento é f a partir de agora, beleza? Então queremos saber onde ocorre o máximo global de f . Pra isso, lembra lá do Cálculo, a gente tem que primeiro achar quem são os pontos críticos, fazendo:

f ' = 0

Mas, voltando à notação original:

f ' = d P d t ' = d 2 P d t 2

Ou seja, já calculamos a tal f ' no item anterior, agora é só igualar a 0 !

k 2 P 1 - P K 1 - 2 P K = 0

Então os pontos críticos são:

P = 0 ,       P = K ,       P = K 2

Já sabemos que P = 0 e P = K representam soluções de equilíbrio, onde a taxa de crescimento é nula, e portanto não representam máximos dessa taxa.

Mas pra sermos rigorosos, ainda teríamos que acrescentar como possíveis pontos de máximo os extremos do domínio de P :

P = 0   (já analisamos esse caso)

P → ∞ (faz com que d P d t → - ∞ )

Então só nos resta concluir que quando P = K 2 , a taxa de crescimento da população é máxima!

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g...
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y   ,     y 0 = π 2   , e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equa...
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x   usando a mudança de variáveis v = y x .
Um pequeno país tem $   10 bilhões em papel-moeda em circulação e a cada dia $   50 milhões chegam aos bancos daquele lugar. O governo decide introduzir uma nova moeda, fazendo com...
Uma esfera com raio de 1   m está a uma temperatura de 15   ° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2   m e temperatura de 25   ° C . A temperatura T r a uma di...
Encontre a função f tal que f ‘ ( x )   =   f ( x )   ( 1   –   f ( x ) ) e f 0 = 1 2 .
Resolva o problema de valor inicial no Exercício 27 , na Seção 9.2 , para encontrar uma expressão para a carga no instante t . Encontre o valor-limite da carga.Enunciado do Exercíc...
Resolva a equação e - y y ' + c o s x = 0 e trace vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando a constante C varia?
O ar em uma sala com volume 180   m 3 contém 0,15   % de dióxido de carbono inicialmente. Ar mais fresco com apenas 0,05   % de dióxido de carbono entra na sala a uma taxa de 2   m...
Suponha que uma população cresça de acordo com o modelo logístico com capacidade de suporte 6000 e k = 0,0015 por ano.(a) Escreva a equação diferencial logística para esses dados.(...
Os biólogos colocaram em uma lago 400 peixes e estimaram a capacidade de suporte (a população máxima de peixes daquela espécie no lago) como 10000 . O número de peixes triplicou no...