Enunciado

(a) Mostre que, sobre um círculo de raio r o ângulo central θ que subentende um arco de comprimento 1,5 vezes o comprimento L de sua corda satisfaz a equação θ = 3   s e n   θ 2 (ver Figura Ex-33).

(b) Use o Método de Newton para aproximar θ .

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

  1. Vamos chamar de s o comprimento do arco e de L o comprimento da corda.
  2. Temos pela figura que s = 1,5 L certo?

    Show! Agora a gente vai usar a relação que s = r θ e r θ = 3 r   s e n   θ 2 .

    E daí, a gente vai ter:

    θ = 3   s e n   θ 2

    E prontinho! Provamos o que queríamos😉

    Passo 2

  3. Vamos lá, a nossa função é onde aquela relação ali de cima zera. Ou seja:

f θ = θ - 3   s e n   θ 2

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos derivar então:

f ' θ = 1 - 3 cos ⁡ θ 2 1 2

f ' θ = 1 - 3 2 cos ⁡ θ 2

Precisamos de um x 1 . Vamos começar com x 1 = 3 .

Vamos lá...

Passo 2

x 2 = 1 - 1 - 3   s e n   1 2 1 - 3 2 cos ⁡ 1 2 = 2,9974

x 3 = 2,9916

x 4 = 2,9916

Então a aproximação do ângulo θ em radianos é aproximadamente 2,99 . Em graus então é aproximadamente 171 ° .

Resposta

  1. Demonstração.
  2. 171 ° .

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →