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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 8.2 - Ex. 39

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Uma mulher está andando com uma velocidade de 1,5   m / s ao longo de um diâmetro de um pátio circular. Uma luz no extremo de um diâmetro perpendicular ao seu caminho projeta sua sombra sobre a parede circular do pátio. Com que velocidade a sombra estará se movendo ao longo da parede quando a distância da mulher ao centro do pátio for 1 2 r ? ( r   m é o raio do pátio).

Passo 1

Um esquema para ilustrar o problema é mostrado a seguir:

Temos que x representa a distância da mulher até o centro do pátio e L representa o comprimento do arco que será descrito pela sombra da mulher. Por simplicidade, vamos supor que a mulher se move para a esquerda. Assim, a velocidade dela será representada por x ' = 1,5 , enquanto a velocidade da sombra será L ' , onde todas as derivadas são tomadas com relação ao tempo.

Do triângulo retângulo com catetos x e r , temos que

tan ⁡ θ = x r ⇒ θ = arctan ⁡ x r

Além disso, como um comprimento de um arco é o arco em radianos multiplicado pelo raio, temos que

L = 2 θ ⋅ r = 2 r θ

Passo 2

Derivando as duas equações e lembrando que r é constante:

θ ' = 1 1 + x r 2 ⋅ x r ' = r 2 r 2 + x 2 ⋅ x ' r = r x ' r 2 + x 2

L ' = 2 r θ '

Substituindo a primeira equação na segunda:

L ' = 2 r ⋅ r x ' r 2 + x 2 = 2 r 2 x ' r 2 + x 2

Agora só falta substituir x ' = 1,5 e x = r / 2 :

L ' = 2 r 2 ⋅ 1,5 r 2 + r 2 4 = r 2 ⋅ 3 5 4 r 2 = 4 ⋅ 3 5 = 12 5

Portanto, temos que a velocidade com que a sombra se desloca é 2,4   m / s .

Resposta

2,4   m / s

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