Enunciado

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Um pedaço de fio com 10   m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja: (a) máxima? (b) mínima?

Passo 1

A primeira coisa é esboçar as informações dadas num desenho:

Cada lado do quadra vale x 4 porque o tamanho de fio x é dividido pelos quatro lados, e o triângulo usa a mesma lógica. A altura do triângulo possui esse valor por conta da propriedade geométrica que nos dias que h = 3 2 l .

Passo 2

O exercício quer a área total máxima e mínima dessas figuras, então:

A = x 2 2 + 10 - x 3 10 - x 3 3 2 1 2

A = x 2 16 + 3 36 10 - x 2 ,   0 ≤ x ≤ 10

O limite imposto de x entre zero é dez é por conta do tamanho do fio.

Passo 3

Como A está dependendo de apenas uma variável, já é possível derivar e igualar a zero para encontrar seus valores extremos:

A ' x = x 8 - 3 18 10 - x = 0

A ' x = x 8 - 10 3 18 + 3 x 18 = 0

A ' x = 9 x 72 + 4 3 x 72 - 40 3 72 = 0

Logo:

A ' x = x 9 + 4 3 - 40 3

x 9 + 4 3 = 40 3

x = 40 3 9 + 4 3

Passo 4

Como x pode variar entre zero e dez, substituímos esses dois valores além do x encontrada para encontrar seus valores extremos e achar os pontos máximos e mínimos:

A 0 = 100 3 36 = 25 3 9

A 0 ≅ 4,81

Do mesmo modo:

A 10 = 100 16 = 6,25

E, portanto:

A 40 3 9 + 4 3 ≅ 2,72

Passo 5

Item (a): área máxima encontrada acontece quando x = 10 , e vale 6,25 , ou seja, toda a corda é usada para o quadrado.

Passo 6

Item (b): área mínima encontrada acontece quando x = 40 3 9 + 4 3 , e vale 2,72 .

Resposta

Item (a): área máxima em x = 10 , A 10 = 6,25 .

Item (b): área mínima em x =   40 3 9 + 4 3 : A x = 40 3 9 + 4 3 = 2,72 .

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