Enunciado

Uma piscina é construída na forma de um paralelepípedo retangular com 3   m de profundidade, 4,5 m de largura e 6   m de comprimento.

  1. Se ela for preenchida até 30   c m abaixo do topo, qual é o trabalho necessário para bombear toda água para dentro de um ralo em sua beirada?
  2. Um motor de 1 cavalo de potência pode realizar 748   J / s . Qual é a potência necessária para um motor esvaziar a piscina em 1 h?

Passo 1

(a) Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear toda a água para cima, onde o ralo está. Podemos cortar nosso volume de líquido em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.

Aí lembramos que para uma força constante:

W = F f a t i a d

Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir o valor da força por fatia.

Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal d x .

Logo, o volume fica:

V = 4,5 ⋅ 6 ⋅ d x =   27 d x  

Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso da água que é igual a 9810   N / m 3 . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:

F f a t i a = P = 9810   V = 264870 d x  

Passo 3

Precisamos entender agora como é o nosso valor de d para cada fatia:

Repara que podemos escrever:

d = 3 - x  

Sendo que x vai de 0 a   2,7   m .

Passo 4

O trabalho fica com essa carinha:

W f a t i a = F d = 264870 d x   ⋅ 3 - x = 264870 3 - x d x  

Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:

W t o t a l = ∫ 0 2,7 264870 3 - x d x = 1 179995,85   J

Passo 5

(b) Podemos usar nosso resultado para o trabalho total e uma regrinha de três para responder essa. Se um motor de 1 cavalo realiza 748   J / s , quantos cavalos a gente precisa para fazer 1179995,85   J em uma hora?

Convertendo os valores, esse motor faz 2692800   J / h . (só multiplicar por 360 ) . Assim se P   for a potência necessária que procuramos, podemos escrever:

1 P = 2692800 1179995,85

P = 0,4 38   c a v a l o s

Resposta

W t o t a l = 1179995,85   J

P = 0,438   c a v a l o s

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