Enunciado

(Produto de Wallis) Mostre que, para todo natural n , tem-se

Letra a)

∫ 0 π 2 s e n n   x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 s e n n - 2 x d x

Onde n ≥ 2

Passo 1

Chamaremos a integral do lado esquerdo de I 1 e podemos escreve-la como

∫ s e n n x d x =   ∫ s e n n - 1 x   ⋅ s e n x d x

Que é uma integral por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Onde

u = s e n n - 1 x                                   →             d u = - n - 1 s e n n - 2 x cos ⁡ x d x    

d v = s e n x d x                           →         v = - cos ⁡ x  

Logo

I 1 =     - s e n n - 1 x cos ⁡ x   - ∫ - n - 1 s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x d x      

Ou ainda

I 1 = - s e n n - 1 x cos ⁡ x   + n - 1 ∫ s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos nos atentar a segunda integral que chamaremos de I 2

I 2 = n - 1 ∫ s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x d x

Nesta o termo c o s 2 x pode ser escrito como

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Então

I 2 = n - 1 ∫ s e n n - 2 x 1 - s e n 2 x d x  

Fazendo a distributiva

I 2 = n - 1 ∫ s e n n - 2 x d x -   ∫ s e n n x d x  

Passo 3

Voltando a integral I 1

I 1 = - s e n n - 1 x cos ⁡ x   + n - 1 ⋅ ∫ s e n n - 2 x d x   - n - 1 ⋅ ∫ s e n n x d x

Que é o mesmo que

I 1 = - s e n n - 1 x cos ⁡ x   + n - 1 ⋅ ∫ s e n n - 2 x d x   - n - 1 ⋅ I 1

Colocando todos os fatores que contem I 1 do mesmo lado e colocando o mesmo em evidencia

I 1 1 + n - 1 = - s e n n - 1 x cos ⁡ x   + n - 1 ⋅ ∫ s e n n - 2 x d x  

Desta forma I 1 será

∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x   n + n - 1 n ⋅ ∫ s e n n - 2 x d x  

Passo 4

O nosso problema possui os limites de integração então basta coloca-los

∫ 0 π 2 s e n n x d x =   - s e n n - 1 x cos ⁡ x   n 0 π 2 + n - 1 n ∫ 0 π 2 s e n n - 2 x d x

Que é

∫ 0 π 2 s e n n x d x = 0 - 0 + n - 1 n ∫ 0 π 2 s e n n - 2 x d x

Desta forma final

∫ 0 π 2 s e n n x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 s e n n - 2 x d x

Resposta

∫ 0 π 2 s e n n x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 s e e n n - 2 x d x

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →