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Prove:

lim x → p ⁡ f x = L ⇔ lim x → p ⁡ f x - L = 0

Passo 1

Fica ligado! Essa parada que ele pediu pra provar tem a seta nas duas direções, ou seja, a gente tem que provar a ida e a volta! A propriedade que vai ser a nossa salvadora aqui é a que diz o seguinte: o limite da diferença é igual à diferença dos limites. Essa parada em notação matemática é:

lim x → p ⁡ f x - g x = lim x → p ⁡ f x - lim x → p ⁡ g x

Essa parada vai ser útil pra gente porque podemos fazer g x = L , e aí chegamos na expressão que ele deu!

Passo 2

Vamos começar provando a ida. Se lim x → p ⁡ f x = L , então lim x → p ⁡ f x - L = 0

lim x → p ⁡ f x - L = lim x → p ⁡ f x - lim x → p ⁡ L

lim x → p ⁡ f x - L = lim x → p ⁡ f x - L

Mas a gente sabe que lim x → p ⁡ f x = L , e então:

lim x → p ⁡ f x - L = L - L

lim x → p ⁡ f x - L = 0

Beleza, era isso que a gente queria!

Passo 3

Agora vamos provar a volta. Se lim x → p ⁡ f x - L = 0 , então lim x → p ⁡ f x = L . Vamos usar a propriedade da diferença dos limites de novo!

lim x → p ⁡ f x - L = 0

lim x → p ⁡ f x - lim x → p ⁡ L = 0

lim x → p ⁡ f x - L = 0

Passando pro outro lado:

lim x → p ⁡ f x = L

Fechou!

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