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Exercícios Resolvidos de Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold - 8.Revisão - 36a

Prove:

lim x → + ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1  

Passo 1

Para resolver esse limite vamos primeiro lembrar a definição de coth ⁡ x .

cotgh ⁡ x = e - x + e x e x - e - x

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Passo 2

Agora vamos substituir essa expressão no limite e calculá-lo.

lim x → + ∞ ⁡ e x + e - x e x - e - x

Vou dividir no numerador e no denonimador por e x .

lim x → + ∞ ⁡ e x + e - x e x - e - x = l i m x → + ∞ e x e x + e - x e x e x e x - e - x e x = l i m x → + ∞ 1 + 1 e x e x 1 - 1 e x e x = l i m x → + ∞ 1 + 1 e 2 x 1 - 1 e 2 x

= l i m x → + ∞ 1 + 1 e 2 x 1 - 1 e 2 x = 1 + l i m x → + ∞ 1 e 2 x 1 - l i m x → + ∞ 1 e 2 x = 1 + 0 1 - 0 = 1

lim x → + ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ e x + e - x e x - e - x = 1

Usamos acima o l i m x → + ∞ 1 e 2 x = 0 , lembrando que, neste caso, ficamos com um número dividido por algo infinitamente grande e isso tende a 0 .

Fechamos então.

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