Enunciado

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Prove o Teorema de Limite 6:

Se

lim x → a ⁡ f x = L e lim x → a ⁡ g x = M

Então

lim x → a [ ⁡ f x . g ( x ) ] = L . M

Passo 1

Precisamos provar que o teorema descrito no enunciado é verdadeiro. Para começar assumimos que:

lim x → a [ ⁡ f x . g ( x ) ] = l i m x → a   f ( x ) . l i m x → a   g ( x ) = L . M

Passo 2

Para comprovar este teorema precisamos reorganizar o termo f x . g ( x ) :

f x - L . g x - M = f x . g x - f x . L - g x . M + L . M

Isolando o termo de interesse:

f x . g x = f x - L . g x - M + f x . L + g x . M - L . M

Aplicando o limite em ambos os termos:

l i m x → a   f x . g x = l i m x → a f x - L . g x - M + f x . L + g x . M - L . M

Usando o Teorema 4:

l i m x → a   f x . g x = l i m x → a f x - L . g x - M + l i m x → a f x . M + l i m x → a g x . L - l i m x → a L . M

De acordo com o Teorema 11:

l i m x → a f x - L = 0

l i m x → a g x - M = 0

l i m x → a f x - L . g x - M = 0

E sabendo que a constante pode sair do limite:

l i m x → a f x . M = M l i m x → a f x = L M

l i m x → a g x . L = L l i m x → a g x = L M

l i m x → a L . M = L M

Então:

l i m x → a   f x . g x = 0 + L M + L M - L . M

l i m x → a   f x . g x = L M

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