Enunciado

Quantas retas tangentes à curva y = 2 x x + 1 passam pelo ponto P ( - 4,0 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?

Passo 1

O gráfico a seguir mostra uma simulação na qual podemos observar duas retas tangentes que passam por P ( - 4,0 ) .

Para encontrar o ponto de tangência temos:

y ' = 2 x x + 1 ' = 2 x + 1 2 = m

Vamos supor ( x 1 , y 1 ) o ponto de tangência. A equação da reta tangente é: y - y 0 = m ( x - x 0 ) .

Substituindo o ponto P :

y - 0 = 2 x + 1 2 x + 4

Precisamos encontrar x 1 . No ponto de tangência:

y 1 = 2 x 1 x 1 + 1   e   y 1 = 2 x 1 + 1 2 ( x 1 + 4 )

Assim, temos:

2 x 1 x 1 + 1 = 2 x 1 + 8 x 1 + 1 2

Passo 2

Resolvendo essa igualdade temos:

x 1 = x 1 + 4 x 1 + 1

x 1 x 1 + 1 = x 1 + 4

x 1 2 + x 1 = x 1 + 4

x 1 2 - 4 = 0 → x 1 = ± 2

Uma vez que temos o valor de x 1 , vamos descobrir o valor de y 1 :

y 1 = 2 2 2 + 1 = 4 3   o u   y 1 = 2 - 2 - 2 + 1 = 4

Assim, os pontos de tangência são:

P 1 = 2 , 4 3   e   P 2 = ( - 2,4 )

As equações das retas tangentes são iguais a:

y = 2 9 x + 4

y = 2 ( x + 4 )

Resposta

Os pontos de tangência são:

P 1 = 2 , 4 3   e   P 2 = ( - 2,4 )

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