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Quantos termos da série ∑ n = 2 ∞ 1 / n ln ⁡ n 2   você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01?

Passo 1

Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor n para que R n ≤ 0,0 05 .

Ou seja, um erro de, no máximo, 0 , 00 5 , de modo que se arredondaria o valor em ± 0 , 0 1 e, portanto, assegurando a precisão desejada.

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o R n .

Passo 2

Já sabemos que

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ n t d x x ln ⁡ x 2

Pela substituição de u = ln ⁡ x ∴ d u = d x x :

∫ d x x ln ⁡ x 2 = ∫ d u u 2 = - 1 u = - 1 ln ⁡ x

Retornando à nossa integral imprópria:

lim t → ∞ ⁡ ∫ n t d x x ln ⁡ x 2 = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t - - 1 ln ⁡ n = 1 ln ⁡ n

Ou seja

R n ≤ 1 ln ⁡ n

Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que 0,005 . Logo,

R n ≤ 1 ln ⁡ n   e   R n ≤ 0 , 0 05 ∴ 1 ln ⁡ n ≤ 0,005 ↔ ln ⁡ n ≥ 200 ↔ n ≥ e 200 ↔ n ≥ 7,2

Passo 3

Como o valor de n precisa ser um número inteiro, usaremos n = 8 . Portanto, a nossa aproximação será:

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2 ≈ s 8 = 1 2 ln ⁡ 2 2 + 1 3 ln ⁡ 2 2 + 1 3 ln ⁡ 3 2 + … + 1 9 ln ⁡ 9 2 = 0.68

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2 ≈ 0 . 68

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