Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 9.1 - Ex. 31

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Questão 31: calcule a integral indefinida

∫ 0 π / 4 e 3 x s e n 4 x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando e 3 x s e n 4 x não aparece da forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs. Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

O segundo passo importante é analisar a formula de integração por partes;

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x )  

Note que devemos encontrar todos os termos da fórmula , então façamos

f(x)=   e 3 x   d e r i v a n d o     f ' x = 3 e 3 x

g’(x) = sen4x integrando g(x)= -cos4x/4

substituindo na formula, temos:

∫ e 3 x s e n 4 x d x =- e 3 x .cos4x/4 + 3 / 4 ∫ e 3 x c o s 4 x   d x

Passo 3

Note que devemos aplicar novamente integração por partes nessa integral,

∫ e 3 x c o s 4 x   d x

Seja f(x)=   e 3 x   d e r i v a n d o f’(x)=   3 e 3 x e

Seja g’(x)= c o s 4 x   integrando g(x)= sen4x/4

Usando esses termos na formulas temos;

  ∫ e 3 x cos ⁡ 4 x   d x = e 3 x . sen4x/4 – 3/4 ∫ e 3 x s e n   4 x   d x

Substituindo na equação geral, temos;

∫ e 3 x s e n 4 x d x =- e 3 x .cos4x/4 + 3 / 4 ∫ e 3 x c o s 4 x dx

∫ e 3 x s e n 4 x d x = - e 3 x .cos4x/4 + 3/4 ( e 3 x . sen4x/4 – 3/4 ∫ e 3 x . sen4xdx )

( ∫ e 3 x s e n 4 x d x = 16 / 25 ( - e 3 x c o s 4 x 4 + 3 e 3 x s e n 4 x 16 )

Passo 4

Note que nos passos anteriores desconsideramos os intervalos de integração, agora sim podemos aplicar os intervalos;

∫ 0 π / 4 e 3 x s e n 4 x d x = { 16 / 25 - e 3 π / 4 c o s π 4 + 3 e 3 π / 4 s e n π 16 } - {( 16 / 25 ( - e 0 c o s 0 4 + 3 e 0 s e n 0 16 ) )

Resposta

∫ 0 π / 4 e 3 x s e n 4 x d x = 4 / 25 ( e 3 π 4 + 1 )

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