Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 6.Revisão - Ex. 51

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desse livro

A região de x = 0 a x = π 2 limitada pela curva y = s e n   x , pela reta y = 1 e pelo eixo y gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

A questão pede o volume gerado pela rotação da região mostrada na figura a seguir em torno do eixo x .

Para acharmos esse volume vamos fazer uma integral na variável x de x = 0 até x = π / 2 . A raio inferior é y = s e n   x , enquanto o superior é y = 1 . Assim, o volume será

V = π ∫ 0 π 2 1 2 - s e n   x 2   d x = π ∫ 0 π 2 1 - s e n 2 x   d x

Passo 2

Para calcular essa integral você precisa lembrar que

s e n 2 x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x

Assim,

1 - s e n 2 x = 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x

Portanto, o volume será

V = π 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 x   d x

Fazendo a mudança de variável t = 2 x , temos que d x = d t / 2 :

V = π 4 ∫ 0 π 1 + cos ⁡ t   d t

Passo 3

Fazendo a integral:

V = π 4 t + s e n   t 0 π = π 4 ⋅ π

Portanto,

V = π 2 4

Resposta

π 2 4

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