Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 16
Reparametrize a curva
Em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (1, 0) na direção crescente de . Expresse a reparametrização em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva?
Passo 1
Muita atenção porque esse exercício é trabalhoso! O primeiro passo é calcular a derivada da curva dada. Temos:
Agora podemos obter o módulo da derivada:
Passo 2
No ponto inicial (1, 0) temos . A função comprimento de arco é dada por
Passo 3
Partindo do passo anterior podemos obter uma expressão de . Temos:
Passo 4
Substituindo na equação vetorial original da curva, obtemos:
Das identidades trigonométricas sabemos que . Assim, temos
Das identidades trigonométricas temos que e que
. Utilizando essas identidades na equação teremos:
Da equação acima, notamos que a curva representa um circulo de raio unitário. Contudo, sabemos que , para inteiro, não é definida no conjunto dos reais.
Assim, como , temos que
Por isso, concluímos que a curva não inclui o ponto (-1 0), já que para
.
Resposta
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