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Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 9.6 - Ex. 8

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Resolva a equação diferencial.

x 2 y ' + 2 x y = cos 2 ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Bora resolver essa equação diferencial, mas primeiro, vamos ter que colocá-la na forma linear padrão:

d y d x + P x   y = Q x

É só dividir a equação por x 2 , né?

y ' + 2 x   y = cos 2 ⁡ x x 2

Então:

P x = 2 x ,       Q x = cos 2 ⁡ x x 2  

Agora já podemos resolver usando fator integrante, beleza?

Passo 2

O fator integrante é dado pela fórmula:

I x = e ∫ P x d x = e ∫ 2 x   d x = e 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 2 = x 2 = x 2

Agora multiplicamos nossa equação pelo fator integrante:

x 2 y ' + 2 x y = cos 2 ⁡ x

Interessante, voltamos à mesma equação original. Ou seja, nem precisávamos ter trabalho calculando o fator integrante se já tivéssemos percebido antes isso daqui:

x 2 y ' + 2 x y = ( y . x 2 ) '

Isto é, o lado esquerdo da nossa equação equivale à derivada de um produto. Agora reescrevemos:

y x 2 ' = cos 2 ⁡ x

Passo 3

Beleza! Agora é só integrar:

y x 2 = ∫ cos 2 ⁡ x   d x + C

Pra facilitar essa integral, usamos uma identidade trigonométrica:

y x 2 = ∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2   d x + C

y x 2 = x 2 + s e n 2 x 4 + C

y = 1 2 x + s e n 2 x 4 x 2 + C x 2

É isso aí!

Resposta

y = 1 2 x + s e n 2 x 4 x 2 + C x 2

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