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Resolva a equação diferencial:

d y d x + 2 y = 3  

y 0 = 1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos escrever d y d x como y ' , beleza?

y ' + 2 y = 3

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x =   2 ; f x = 3

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ 2 d x =   e 2 x

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y ' e 2 x + 2 e 2 x y = 3 . e 2 x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x e 2 x . y = 3 . e 2 x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e 2 x . y = ∫ 3 . e 2 x   d x

e 2 x . y =   3 2 e 2 x + C

y = 3 2 +   C e 2 x

Como queremos y 0 = 1 . Façamos:

1 =   3 2 + C

c =   - 1 2

y =   3 2 -   1 2 e - 2 x

Resposta

y =   3 2 -   1 2 e - 2 x

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