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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 6.6 - Ex. 6

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Resolva o Exercício 5, se 90 ergs for o trabalho realizado e f x = 4 x - 3 .

(Um objeto se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força de f ( x ) dinas quando o objeto está a x cm da origem. Trabalho realizado ao mover o objeto da origem até o ponto onde x = K , ache K se K > 0 .)

Passo 1

O exercício nos pede o deslocamento do objeto ao longo do eixo x desde a origem até K , como ele nos dá o trabalho e a função da força podemos encontrar através da fórmula:

W = ∫ a b f x   d x

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b por uma força f ( x ) , então nossa integral fica:

W = ∫ x = 0 K 4 x - 3   d x

Passo 2

Agora podemos resolvê-la, encontrando as primitivas da função dada a Regra da Soma e da Potência:

W = ∫ x = 0 K 4 x - 3   d x = 4 ∫ x = 0 K x - 3 ∫ x = 0 K d x

W = 4 x 2 2 0 K - 3 x 0 K = W = 2 x 2 0 K - 3 x 0 K

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Passo 3

Fazendo a subtração com os limites da integral:

W = 2 K 2 - 0 2 - 3 [ K - 0 ]

Sabendo que nosso trabalho é W = 9 0   e r g s , podemos substituir na equação:

9 0 = 2 K 2 - 3 K

Agora basta encontrar as raízes da equação, vou fazer por Bhaskara, onde K ' , K " = - b ± b ² - 4 a c 2 a :

2 K 2 - 3 K - 9 0 = 0

K ' ,   K " = - ( - 3 ) ± - 3 2 - 4 ⋅ 2 ( - 90 ) 2 ⋅ 2

K ' = 15 2

K " = - 6

Como queremos K > 0 , ficamos com a primeira raiz:

K = 15 2 c m

Resposta

K = 15 2 c m

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